已知函数f(x)=eax-x-1,其中a≠0.若对一切x∈R,f(x)≥0恒成立,则a的取 ...
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发布时间：2024-12-31 15:52
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时间：1分钟前
若a＜0，则对一切x＞0，∵eax＜1，∴f（x）=eax-x-1＜0，这与题设矛盾．
又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0得x=1aln1a，
当x＜1aln1a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1aln1a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=1aln1a，f（x）取最小值f（1aln1a）=1a-1aln1a-1．
于是对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，当且仅当1a-1aln1a-1≥0．①
令g（t）=t-tlnt-1，（t=1a）则g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1-1=0．
∴当且仅当1a=1，即a=1时，①式等号成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
故答案为：{1}．
