泛函学习笔记(3):张恭庆泛函勘误
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发布时间：2024-12-12 17:48
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时间：2024-12-13 22:05
准备考研复试，进度较慢，内容偏基础。
张恭庆《泛函分析》习题1.2.4要求证明多项式空间按特定距离不完备及指出完备化空间。
习题册中完备化子空间为错误答案，正确完备化空间应为另一形式。
首先证明多项式空间在特定距离下不完备。选取特定多项式，任取多项式序列，则序列的任意多项式与选取多项式距离非零。因选取多项式与多项式序列中任意多项式距离皆不为零，若存在某多项式使得序列与该多项距离为零，则矛盾，故多项式空间不完备。
完备化子空间证明：多项式空间本身完备，通过多项式*近连续函数，连续函数*近阶梯函数，阶梯函数*近可积函数，证明多项式空间在特定距离下稠密，因此，该空间为特定距离下的完备化空间。
具体完备化空间形式为另一数学表达式。不完备反例：通过一列连续函数*近特定函数，连续函数列不可能完全*近任一连续函数。
