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(1)解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4,
∵OA<OB,∴OA=3,OB=4.
∴A(0,3),B(4,0).
(2)在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5-2t.
△APQ与△AOB相似,可能有两种情况:
(I)△APQ∽△AOB,如图(2)a所示.
则有APAO=AQAB,即t3=5?2t5,解得t=1511.
此时OP=OA-AP=1811,PQ=AP?tanA=2011,∴Q(2011,1811);
(II)△APQ∽△ABO,如图(2)b所示.
则有APAB=AQAO,即t5=5?2t3,解得t=2513.
此时AQ=1513,AH=AQ?cosA=913,HQ=AQ?sinA=1213,OH=OA-AH=3013,∴Q(1213,3013).
综上所述,当t=1511秒或t=2513秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为(2011,1811)或(1213,3013).
(3)结论:存在.如图(3)所示.
∵t=2,∴AP=2,AQ=1,OP=1.
过Q点作QE⊥y轴于点E,则QE=AQ?sin∠QAP=45,AE=AQ?cos∠QAP=35,
∴OE=OA-AE=