在三角形ABC中 角B=40度,BD平分角B交AC于点D,且BD+AD=BC,求证AB=AC...

发布网友 发布时间：2024-10-24 13:20

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热心网友 时间：2024-10-27 03:28

证明：
在BC上截取BE=BD，连接DE
∵BD+AD=BC
BE+CE=BC
∴AD=CE
在BC上截取BF=AB，连接DF
∵BD平分∠B
∴∠ABD=∠FBD
又∵BD=BD
∴⊿ABD≌⊿FBD（SAS）
∴AD=DF=CE
∠BFD=∠A
∵BD=BE，∠DBE=½∠B=20º
∴∠BED=80º，∠CDE=80º-∠C
∠DFE=180º-∠A=∠ABC+∠C=40º+∠C
∵CE/DE=sin∠CDE/sin∠C=sin(80º-C)/sinC【sin∠C简写为sinC】
DF/DE=sin∠BED/sin∠DFE=sin80º/sin(40º+C)
∵CE/DE=DF/DE
∴sin(80º-C)/sinC=sin80º/sin(40º+C)
化简：
sin(80º-C)×sin(40º+C)=sin80º×sinC
(sin80ºcosC-cos80ºsinC)×(sin40ºcosC+cos40ºsinC)=sin80ºsinC
sin40ºsin80ºcos²C+sin80ºcos40ºsinCcosC-cos80ºsin40ºsinCcosC-cos40ºcos80ºsin²C
=sin80ºsinC
sin40ºsin80º(1-sin²C)-cos40ºcos80ºsin²C+sinCcosC(sin80ºcos40º-cos80ºsin40º)
=sin80ºsinC
sin40ºsin80º-sin²C(sin40ºsin80º+cos40ºcos80º)+sin40ºsinCcosC=sin80ºsinC
sin40ºsin80º-cos40ºsin²C+sin40ºsinCcosC-sin80ºsinC=0
sin80º(sin40º-sinC)+sinC(sin40ºcosC-cos40ºsinC)=0
sin80º(sin40º-sinC)+sinCsin(40º-C)=0

∵ 0＜C＜140º
当C＜40º时，sin40º-sinC＞0，sin（40º-C）＞0，等式不成立
当40º＜C＜140º时，sin40º-sinC＜0，sin（40º-C）＜0，等式也不成立
当C＝40º时，等式成立
∴∠C=∠ABC=40º
∴AB=AC

热心网友 时间：2024-10-27 03:27

没想出来。。。

热心网友 时间：2024-10-27 03:28

证明：
在BC上截取BE=BD，连接DE
∵BD+AD=BC
BE+CE=BC
∴AD=CE
∵∠1=∠2=20°，BD平分∠ABC
∴AB：BC=AD：CD【正弦定理，互补角替换】
∴AB：BC=CE：CD【等边替换】
又∵∠ACB=∠ECD【公共角】
∴⊿ACB∽⊿ECD【对应边成比例夹角相等】
∴∠A=∠DEC
∵∠2=20º
∴∠BED=（180º-∠2）÷2=80º【等腰三角形】
∴∠A=∠DEC=100º
∴∠C=180º-∠A-∠ABC=40º
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC
相似部分用正弦定理替换也许可以，不过不属初中的知识。