任意三角形三条中线长分别为3、4、5,求三角形的周长
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该三角形的三条中线长不等，说明该三角形的三边不等，不失一般性地设该三角形的三边长分别是a、b、c，且a＞b＞c。令a、b、c边上的中线长依次是d、e、f。
由三角形的中线长公式，该三角形的三条中线长分别可表示成：
0.5√（2a^2＋2b^2－c^2）、 0.5√（2b^2＋2c^2－a^2）、 0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）
由a＞b＞c，有：2a^2＋2b^2＞2a^2＋2c^2， b^2＞c^2
可见：0.5√（2a^2＋2b^2－c^2）＞0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）
同理可得：0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）＞0.5√（2b^2＋2c^2－a^2）
所以：0.5√（2a^2＋2b^2－c^2）＝5
0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）＝4
0.5√（2b^2＋2c^2－a^2）＝3
上述三个方程两边同乘以2后两边平方，得：
2a^2＋2b^2－c^2＝100
2a^2＋2c^2－b^2＝
2b^2＋2c^2－a^2＝36
解上述三个方程联立的方程组，得：a＝2√73／3，b＝4√13／3，c＝10／3。
以下给出三角形中线长公式的证明：
若AD是△ABC的中线，则：AD＝0.5√（2AB^2＋AC^2－BC^2）
证明：
过A作AE⊥BC交BC或其延长线于E。
1、当E在CD上时，由勾股定理，有：
AB^2＝（BD＋DE）^2＋AE^2
AC^2＝（CD－DE）^2＋AE^2
AD^2＝DE^2＋AE^2
上述第三个式子两边乘以2后，减去第一、第二个式子，得：
2AD^2－AB^2－AC^2＝2DE^2－（BD＋DE）^2－（CD－DE）^2
得：2AD^2－AB^2－AC^2＝2DE^2－BD^2－2BD×DE－DE^2－CD^2＋2CD×DE－DE^2
而BD＝CD＝BC／2
所以：2AD^2－AB^2－AC^2＝－BD^2
即：4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－4BD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2
于是：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
请你用类似的方法证明2、3、4、5四种情况：
2、当E在DC的延长线上时，有：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
3、当E在BD上时，有：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
4、当E在DB的延长线上时，有：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
5、特别地，当E与D重合时，更容易证得：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
综上所述，对于任意的三角形，△ABC的中线长AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。
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该三角形是直角三角形，三边比是3:4:5，斜边长=3*2=6
三角形周长是6/5*（5+4+3）=14.4
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一条中位线的长是一边的一半
所以 C=2*(3+4+5)=24
