变分方法

发布网友 发布时间：2022-04-22 06:22

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热心网友 时间：2022-06-01 15:34

9.1.1 泛函与变分

所谓变分法就是研究泛函极值的方法。实际上泛函是函数概念的推广，变分是微分概念的推广。数学中函数的概念是众所周知的，若设x为自变量，y为因变量，则函数可表示为

y=y（x）

x和y存在着对应关系，即x的每一个值都与y的某个值相对应，则称y是x的函数。

若J又是y的函数，即每一个函数都有变量J的值与之相对应，则称变量J是y（x）的泛函，并表示为

J=J［y］=J［y（x）］

由此可见泛函与一般的函数不同，它的自变量是一个函数，即泛函是具有函数的函数的意思，而且应注意，这里因变量J是一个实数。

图9.1 AB两点间最短线问题

为了对泛函有一个具体的认识，这里举一个简单的例子。设平面上有A、B两点，求连接A、B且长度最短的线（显然是连接A、B的直线）。这个问题在数学上可以表述如下，作连接A、B两点的任意曲线y=y（x），见图9.1，曲线元弧长为ds=

，于是曲线长度为

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式中y是x的函数，曲线长度J又是y的函数，所以J［y（x）］称为泛函。求最短线问题在数学上可表述为，在满足边界条件

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的情况下，找出一个函数y=y（x），使泛函（9.1.1）式取极小值。

有了泛函的概念，下面便可以讨论泛函自变量的变分和泛函的变分概念。

若自变量y（x）取函数y₁（x），则y（x）在y₁（x）上的增量是指y₁（x）附近函数

（x）与y₁（x）的差：

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自变量y₁（x）的增量δy（x）称为自变量y（x）的变分。

如果泛函J［y（x）］的自变量的增量为δy（x），则

ΔJ=J［y（x）+δy（x）］-J［y（x）］

就是泛函的增量。若泛函的增量ΔJ可以表示为

ΔJ=L［y（x），δy（x）］+α （9.1.3）

其中L［y（x），δy（x）］关于δy（x）是齐次线性的，即

L［y（x），δy₁（x）+δy₂（x）］=L［y（x），δy₁（x）］+L［y（x），δy₂（x）］

=L［y（x），λδy（x）］=λL［y（x），δy（x）］

且当δy（x）为无穷小时，α为高阶无穷小；则称（9.1.3）式中的L［y（x），δy（x）］为J［y（x）］在y（x）处的变分，记作δJ［y（x）］。即有

ΔJ=δJ+α（高阶无穷小）

简单地说，泛函的变分是泛函增量的线性主部，这是函数变分的一个定义。下面介绍泛函变分的另一个定义。

给定泛函J=J［y（x）］，考虑泛函在y（x）+tδy（x）的值J［y（x）+tδy（x）］。根据前一定义，若泛函在泛函增量线性主部意义下有变分存在，则

ΔJ=J［y（x）+tδy（x）］-J［y（x）］

=L［y（x），tδy（x）］+α

考虑到

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其中因为L［y（x），tδy（x）］关于δy（x）是线性的，所以

L［y（x），tδy（x）］=tL［y（x），δy（x）］，且

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所以泛函J［y（x）］在y=y（x）处的变分等于泛函J［y（x）+tδy（x）］在t=0时关于t的导数。即

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9.1.2 泛函的极值

前面已叙述了变分方法是研究泛函极值的方法。设泛函J［y（x）］，如果存在y₀（x），使得y的存在域中所有的y（x），均满足

J［y₀（x）］≤J［y（x）］（或J［y₀（x）］≥J［y（x）］）

则称J［y（x）］在y₀（x）取极小值（或极大值）。如果仅对于邻近y₀的y，上式成立，则称J（y）在y₀取局部极小（大）值。

若泛函J=J［y（x）］有变分，且在y₀（x）处达到极小值或极大值，则在y₀（x）处的一阶变分为：

δJ=δJ［y₀（x）］=0 （9.1.6）

（9.1.6）式就是J［y（x）］在 y₀取极值的必要条件。函数 y=y₀（x）称为极值函数（或极值曲线）。

实际上，若J［y（x）］在y₀取极值，记y（x）-y₀（x）=δy（x），则对于任意的t，

J［y（x）］=J［y₀（x）+tδy（x）］

当y₀（x）、δy（x）固定时J［y₀（x）+tδy（x）］=φ（t）是t的函数。因为J在y₀处达到极值，所以当t=0时φ（t）达到极值。即

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故有ΔJ=L［y₀（x），δy（x）］=0

下面讨论泛函

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在边界条件（9.1.2）式，即

y₁=y（x₁） y₂=y（x₂）

条件下的极值问题。

按定义，泛函（9.1.7）式的增量为

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由台劳公式

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其中α′为高阶无穷小量。故有

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上式中第一项关于δy是齐次线性的，第二项是高阶无穷小量，所以J（y）的变分是

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应当指出，泛函的变分是由δy引起的。但δy并非由x变化引起，恰恰相反，δy=y（x）-y₀（x）是在x为同一数值时得到的。所以在上式的变分计算中，把x看作常数。其中y₀（x）为极值曲线，y（x）为一条与y₀（x）靠得很近的曲线。

根据分部积分公式

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（9.1.8）式右侧第二项可写成

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将积分限代入上式右侧第一项，且由边界条件显然有δy（x₁）=0，δy（x₂）=0，故该项为零。于是

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由极值必要条件，为了使任意函数δy都满足δJ（y）=0，则必须有

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上式称为欧拉方程，是泛函（9.1.7）式取极值的必要条件。（9.1.9）式是一个微分方程，求解这个微分方程，可得无穷多个极值曲线。再把边界条件代入，就可得到唯一的极值曲线。这样，泛函的极值问题可归结为相应的微分方程的解。

例如，对于泛函（9.1.1）式，有F（x，y，y′）=

，所以相应的微分方程为

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这个微分方程很易求解。对x积分后，得y′=c₁

，化简后y′=c₂，再积分，得y=c₂x+c₃。式中c₁，c₂，c₃均为常数，将边界条件（9.1.2）代入上式，可求得

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即得

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这就是连接图9.1中A、B两点的直线方程，即所求的最短线方程。

数学上还可以反过来证明，一个微分方程的解可以归结为相应泛函的极值，所以泛函的极值与相应的微分方程的解是等价的。