基于新一代GPS的垂直度误差评定方法的研究

４４　传感器与微系统（Ｔｒａｎｓｄｕｃｅｒ　ａｎｄ　Ｍｉｃｒｏｓｙｓｔｅｍ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ）　２０１２年第３１卷第５期　基于新一代ＧＰＳ的垂直度误差评定方法的研究　杨宏艳，夏雪，覃裕初，钟艳如　（桂林电子科技大学计算机科学与工程学院，广西桂林５４１００４）　摘要：现代产品几何技术规范（ＧＰＳ）提出的操作与操作算子技术，为实现几何产品检验／认证过程的数　字化和规范化评定提供了必要的技术基础。研究分析了垂直度误差和轴线对端面垂直度误差评定过程中　操作算子的构成，并建立了基于最小区域的各拟合操作的数学模型和优化目标函数。介绍了一种基于实　数编码的遗传算法来解决误差评定中的目标优化问题，阐述了算法的基本思想和步骤。通过实例介绍了　基于实数编码的遗传算法的轴线对端面垂直度误差评定过程。结果表明：该过程规范、有效、可操作性强。　关键词：现代产品几何技术规范；垂直度误差；遗传算法；实数编码；操作算子；操作　中图分类号：ＴＰ２０６　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－９７８７（２０１２）０５－－００４４－０４　１ＫｅＳｅａｒＣｎ　０ｎ　ｅｒｒ０ｒ　ｅｖａｌｎａｎ０ｎ　ｍｅｔｎ０ｄ　ｌｎ　ｏｅｒｏｅｎｃｌ　●　’　Ｊ●　Ｊ●　１　●　＇－｜ｃｕｌ　’　ａｒｉｔｙ　－一　ｂａｓｅｄ　０ｎ　ｎｅｗ　ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ　ＧＰＳ　ＹＡＮＧ　Ｈｏｎｇ－ｙａｎ，ＸＩＡ　Ｘｕｅ，ＱＩＮ　Ｙｕ—ｃｈｕ，ＺＨＯＮＧ　Ｙａｎ—ｒｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＧｎｉＨｎ　５４１００４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｂｙ　ｇｅｏｍｅｔｉｒｃａｌ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ（ＧＰＳ）ｐｒｏｖｉｄｅ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｂａｓｉｓ　ｆｏｒ　ｄｉｇｉｔｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｖｅｒｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｇｅｏｍｅｔｉｃａｌｒ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ．Ｔｈｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ａｘｉｓ　ｅｒｒｏｒ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｉｔｙ　ｔｏ　ｅｎｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ，ａｎｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｔａｒｇｅｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｅｖｅｒｙ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ—ｚｏｎｅ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ａ　ｇｅｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｒｅａｌ　ｃｏｄｉｎｇ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｂａｓｉｃ　ｉｄｅａ　ａｎｄ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｒｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ．ｒｅａｌｉｚｅｓ　ｔｈｅ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｘｉｓ　ｌｉｎｅ　ｅｒｒｏｒ　ｉｎ　ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｉｔｙ　ｔｏ　ｅｎｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｒｅａｌ—ｃｏｄｉｎｇ　ｇｅｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ．Ｔｈｅ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｃａｎｏｎｉｃａｌ，ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ａｎｄ　ｆｅａｓｉｂｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｇｅｏｍｅｔｉｒｃａｌ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ（ＧＰＳ）；ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｉｒｔｙ　ｅｒｒｏｒ；ＧＡ；ｒｅａｄ—ｃｏｄｉｎｇ；ｏｐｅｒａｔｏｒ；　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　０引　言　要，较好地解决了传统几何误差评定中存在的问题　。　目前，很多种遗传算法应用于误差评定过程中　。文　献［３］提出了用遗传算法实现圆柱度误差评定，取得了一　定效果。文献［４］在此基础上提出了一种基于实数编码的　遗传算法。文献［５］提出了一种基于归一化实数编码遗传　轴线间的垂直度公差是常见的一种定向公差，对具有　确定方向的理想要素所允许的范围内，它是关联实际要素　的变动全量，用于控制被测要素对基准在方向上的变动。　轴线对端面的垂直度误差对一些机械零件的使用性能有很　大影响，如机床导轨的垂直度误差直接影响加工质量等，因　此，准确地获得符合定义的误差值有利于保证和提高机械　产品的质量…。　算法，并应用于误差计算。文献［６］将遗传算法应用于几　何产品形位误差计算，但是没有具体研究垂直度。但标准　的遗传算法初始解不容易分散到整个解空问，容易陷于局　部最优，不能给出符合允许值范围内的最确解。本文结合　新一代ＧＰＳ中的操作和操作算子技术，给出了轴线对端面　现代产品几何技术规范（ＧＰＳ）以计量数学为基础　，　利用基于对偶性原理的非理想表面模型和共性“操作”技　术，将几何产品的设计、制造、检验环节系统，科学、有机地　融为一体，实现了产品几何特征规范值确定和实现工件几　何特征值计量认证的数字化统一，适应现代制造技术的需　垂直度误差评定过程中的操作算子，并建立了最小区域误　差评定的数学模型和优化目标函数。然后采用一种实数编　码的遗传算法进行智能优化，来解决最小区域法误差评定　收稿日期：２０１１—１０－３０　基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１１６３０４１）；广西制造系统与先进制造技术重点实验室基金资助项目（Ｋ０９００１４）　第５期　杨宏艳，等：基于新一代ＧＰＳ的垂直度误差评定方法的研究　４５　中的目标优化问题　ｊ。实例表明：该评定方法科学、规范、　准确，且可操作性强。　１基于ＧＰＳ的轴线对平面垂直度误差评定过程　依据新一代ＧＰＳ标准的综合模型，几何产品的“功能　描述一规范设计一检验评定”的一致性表达通过不同规范的　操作与操作算子来实现。操作是获取几何要素的特征及其　变动范围（极限值）的基本数学工具，操作可分为要素操作　和评估操作，其中要素操作包括分离、提取、滤波、拟合、集　成、构造６种　Ｊ。评估操作是确定特征或要素的值及其公　称值与极限值，并判定要素几何特征与规范的一致性。以　任意方向上的轴线对端面垂直度为例，如图１所示，被测圆　柱轴线相对于基准底座平面Ａ有垂直度要求，根据ＧＰＳ操　作算子技术进行垂直度误差的分析研究。对按此要求加工　出的工件进行检验／认证，需要经过３个过程，构建基准平　面、获取圆柱的轴线、根据规范要求进行一致性比较认证。　图１任意方向上的垂直度要求实例　Ｆｉｇ　１　Ｅｘａｍｐｌｅ　ｏｆ　ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｉｔｙ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　１．１建立基准平面　１．１．１分离　分离是从非理想要素或理想要素中识别几何要素边界　的操作＂］。依据特定规则，从规范表面模型中获得建立基　准Ａ对应的非理想平面，如图２所示。　厩田　糯叫　图２规范表面模型　Ｆｉｇ　２　Ｓｐｅｃｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｍｏｄｅｌ　１．１．２提取　提取是获取通过分离操作所得到的表面上的有限的点　集Ａ　（　，Ｙ　，　）（ｉ＝１，２，３…ｎ）　。根据缺省规范，基准表　面的构造元素是球，其缺省直径为３　ｍｍ，建立基准中缺省　的提取方法是ＩＳＯ／Ｔ　Ｓ１６６１０－－４９中定义的“形态学采样准　则”。提取如图３。　１．１．３滤波　滤波是一种从非理想要素中分离出感兴趣成分的方　法，是通过降低不期望的成分以获取期望成分的一种操作。　图３提取　Ｆｉｇ　３　Ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ　非理想要素信息包括粗糙度、波纹度、结构和形状等。在进　行滤波操作过程中，采用特定规则从非理想要素中获取所　需要的特征。建立基准的平面缺省滤波方法是Ａｌｐｈａ包滤　波法　，在平面情况下，构造元素的直径为无穷大。滤波得　到的结果是属于外轮廓的点集，用这个外轮廓模拟所对应　平面的功能。　１．１．４拟合　拟合是依据特定准则用理想平面逼近非理想平面，获　得平面的方位要素（平面自身）用以作为基准，如图４所示。　图４拟台　Ｆｉｇ　４　Ｆｉｔｉｔｎｇ　设Ａ　（　，ｙ　，　）（ｉ＝１，２，３…ｎ）为非理想基准平面Ａ上　点的坐标，拟合得到的理想基准平面的方程为　Ａ１　＋曰１ｙ＋Ｃ１　＋Ｄ１＝０．　（ｉ）　设点Ａ　到理想基准平面Ａ的距离为ｄ　，根据最小区域　法原则，理想基准平面方程的优化目标函数为　Ｆ（Ａｌ，Ｂ。，Ｃ。，Ｄ１）＝［ｄ　］　一［ｄ　］　ｉ　．　（２）　１．２获取圆柱模型轴线　从认证表面模型中分离出非理想圆柱表面，过程与基　准平面Ａ的分离类似。圆柱面常用的提取方案有鸟笼法、　圆周线法、母线法与布点法等　］。根据圆柱面的形状特征，　并综合结构和功能特征，选用鸟笼法提取方案，获取圆柱模　型轴线步骤如下：　１）提取：根据奈奎斯特定理、傅里叶变换和精度要求　的高低确定提取的层数和点数，最后将获取的有限点集的　坐标值存人数组Ａ［ｉ］　（其中，ｉ＝Ｏ，ｌ，…，ｍ－－１，ｍ表示圆　周线数，　＝０，１，２，…，ｎ－１，ｎ表示母线数），为完成后面的　一系列操作做准备。　２）拟合：假设直线　为理想圆柱面的轴线，根据点到　直线的距离公式，计算非理想圆柱面上各提取点到轴线　的距离　（ｉ＝０，１，…，ｍ－－１）。根据最小二乘原理，计算出　非理想圆柱面上各点至理想圆柱面轴线距离的平方和最小　１　ｎ　值｜Ｒ＝÷∑ｒｉ，根据最小区域原则，得到目标优化函数　传感器与微系统　第３１卷　Ｆ（ｘ。，Ｙｏ，“，ｇ）＝ｍｉｎ　ｅ∑（　＋　）　］，计算出Ｘ０，Ｙｏ，ｕ，ｑ，得　到假定的理想圆柱轴线方程，Ｊ。　３）构造：平面的法向量为拟合操作得到的理想轴线三　的方向向量，即是Ｉｔ（ｕ，ｑ，１），因此，可以得到平面方程　＋　ｇｌ，＋Ｚ＋ｄｏ＋ｉｄ＝Ｏ。　４）集成：将所有拟合圆的圆心坐标　ｉ］（　，Ｙ　，　）　（其中，ｉ＝０，ｌ，…，ｍ－－１，ｍ表示面的数量）集成为非理想的　轴线，用以体现被测轴线。　１．３评估　１．３．１拟合　使理想直线在满足垂直于基准平面Ａ的约束条件下，　逼近集成的非理想轴线，以获得拟合直线。由于拟合直线　垂直于拟合的基准平面　，由基准平面Ａ的方程（１），可以　得到拟合直线的方向向量。设拟合直线厶与ＸＯＹ平面的　交点为Ｍ（ａ，ｂ，０），由此可确定理想直线厶的方程。根据　点到直线的距离公式，拟合计算出圆心Ｄ［ｉ］（　，Ｙ　，　）　（ｉ＝０，２，…，ｍ一１）到理想直线　的距离ｄ　。其中误差变　动范围值为　（３）　根据最小区域法原则，目标优化函数Ｆ（ａ，ｂ）为　Ｊ　Ｆ（ａ，ｂ）＝［ｄ　］…一］［ｄ　］…．　（４）　１．３．２估值与一致性比较　集成要素各点到拟合直线的最大距离为ｄ，取出拟合　圆圆心坐标，计算圆　５，Ｎ理想直线的距离。理想直线厶和　圆心到　的距离如公式（３）所示。如满足ｄ≤ｔ／２，则表示　测量结果与特征规范值一致。　２基于实数编码的遗传算法　遗传算法（ＧＡ）利用选择、交叉、变异遗传操作模拟自　然进化，完成对问题的寻优求解。遗传算法对所解的优化　问题没有太多的数学要求，不依赖问题的具体领域，不需要　求导或其他辅助知识，对目标函数的性质几乎没有要求，唯　一的要求是函数在搜索区间内的最大值和最小值是有限　的，尤其适用于处理传统搜索方法难以解决的复杂和非线　性问题。。ｊ。因此，采用一种实数编码的遗传算法，子群体定　期将最好个体传给相邻子群体，同时接受从相邻子群体传　来的最好个体，综合后淘汰适应度差的个体，来解决最小区　域法误差评定中的目标优化问题。　２．１　实数编码　二进制编码不便反映问题的结构特征，对于连续优化　问题局部搜索能力较差，对于多变量优化问题存在个体串　位太大而造成计算量过大。直接采用的实数编码，用实数　表示基因，每一个基因代表一个优化变量，所有变量对应的　基因依次连在一起构成该实数编码的个体。这样，便于大　空间搜索，处理高维数值优化问题。　（５）　式中，为目标函数，Ｓ＝（ｓ　．－，ｓ　一，ｓ　）表示一个个体，　ｓ　（ｉ＝１，２，…，Ｐ）为待优化变量；ｐ为优化变量的数目；ａ　，ｂ　分别为变量ｓ　的上下界。　２．２选择操作　为了从当代种群中选择那些适应能力较强的个体，模　拟达尔文的进化论思想，算法实现是采用轮盘赌选择方式。　随机生成种群，种群分成Ⅳ个子种群，每个子种群有　个个　体。多个种群使用同一目标函数，子种群之间根据预定的　通信拓扑关系按一定比例交换个体，通过新个体的加入，增　加个体的差异性，加强全局搜索能力。　计算适应度函数，各子群体独立计算其个体的适应度　值并进行独立的非线性排序，确定优秀个体和最差个体。　使用轮盘赌选择方式，从当前种群中根据个体的适应度值，　挑选出优良个体进入下一代，每个个体进入下一代的概率　等于它的适应度值与整个种群个体适应度值之和的比例，　适应度越高，被选中的可能性越大。　２．３交叉操作　交叉操作在实数编码遗传算法搜索过程中起重要作　用。采用均匀交叉，２个配对个体的每个基因座上的基因以　相同的交叉概率进行交换，形成２个新的个体。　２．４变异操作　变异操作中采用实值种群的变异，即“阈值自适应高斯　变异”机制，设定一个允许范围内的小阈值。实值种群的变　异可以取较高的变异概率，提高了对搜索空间的搜索能力，　不会对收敛特征产生不利的影响。　将子群体中最好的个体迁移传给其他的子群体，通过　迁移可以加快较好个体在群体中的传播，提高收敛速度和　解的精度，与单种群相比只需要较少的个体评价计算工作　量，因此，迁移算子的采用更适合于全局寻优，并且计算量　较小。多种群个体在种群之间以相同间隔迁移，最邻近的　子种群在被选择迁移的最适应个体间交换个体，均匀地重　插入移民个体。　３实例验算　３．１模型仿真　采用ＶＣ＋＋和ＯＰＥＮＧＬ结合，模拟开发了柱状表面模　型生成系统。根据操作算子技术计算生成平面模型、圆柱　体表面模型分别如图５、图６所示。　通过导出模拟点的坐标值，如表１列出圆柱面一切面　的顶点坐标。便于获取几何要素特征值操作算子的实现，　第５期　杨宏艳，等：基于新一代ＧＰＳ的垂直度误差评定方法的研究　４７　为实现几何产品的功能描述、规范设计及检验认证提供一　致性表达。　柱直径为１０　ｍｍ，高度为６　ｍｍ，垂直度公差要求为０．０６　ｍｍ。　采用遗传算法对目标函数进行优化。从种群的多样性　和收敛速度等方面综合考虑，采用实数编码机制　，设置　种群由３０个个体组成，变异率为０．０７５，交叉率为０．０６，最　大迭代次数为５００次。计算过程从略。　根据上述操作过程，首先按照一定的规则，在一个平面　图５基准平面模型　Ｆｉｇ　５　Ｄａｔｕｍ　ｐｌａｎｅ　ｍｏｄｅｌ　内分离提取圆柱模型表面２０个点，具体数据如表１所示，　依据最大内切圆算法，计算出圆心坐标（一０．０００　００１，　－０．００５６８５５，４５．０００　０）。同理，采取第二组数据，包含　２Ｏ个坐标值，依据最大内切圆算法，计算出圆心坐标　（－０．０００１７９５，－０．０００　０５７，４０．０００　０）……。最终计算得　出２Ｏ组圆心坐标值，如表２。采用最小二乘法对这２Ｏ组数　据进行拟合，得到理想圆的圆心集，再经过集成操作，非理　图６圆柱模型轴线模型　Ｆｉｇ　６　Ｓｈａｆｔ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｃｙｌｉｎｄｅｒ　ｍｏｄｅｌ　想圆柱的轴线即为所求。其中，在ＸＯＹ平面内，投影拟合　曲线为：，，＝－０．０００８９７４４－０．００５７６６０８　，误差为０．５％。　３．２实例验算　用三坐标测量仪测量一个如图１所示垂直度要求的零　按文献［１］计算的垂直度误差为０．０１１　ｍｍ，按照这里　介绍的方法得到垂直度误差为０．００５　ｍｍ，小于０．０６　ｍｍ，则　件，基准平面长为１５ｍｍ，宽为１５ｍｍ，圆柱直径为１０ｍｍ；圆　可判定被测要素垂直度合格。　表１第一组采样点（１ｎｎ１）　Ｔａｂ　１　Ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｇｒｏｕｐ　ｓａｍｐｌｉｎｇ　ｐｏｉｎｔｓ　序号　ｌ　２　３　４　５　６　７　８　９　Ｙ　－２４．９８４６６５　—２３．７８０４５６　０．０００００２　－７．７２６　７３６　＝　５０．０２２４７９　４９．９８２０７９　５０．０２０２５６　５０．００９６４５　４９．９９０１５２　４９．９９６３２８　４９．９７８５１９　５０．０２３３３１　５０．００９１５９　序号　１１　ｌ２　ｌ３　１４　１５　ｌ６　１７　１８　ｌ９　ｘ　２４．９８０９５４　２３．７５３０６０　２Ｏ．２２６７０５　１４．６９７６２２　７．７２０２６７　一Ｏ．０００００１　—７．７１８５８２　—１４．７０２９５９　’２０．２２６２３０　ｙ　０．００００００　７．７１７８３７　１４．６９５５６２　２０．２２９５４２　２３．７６０５４２　２４．９９７５３９　２３．７５５３４８　２０．２３６８８４　１４．６９５２１４，　ｚ　５０．０１８８６３　５０．０１６０８４　５０．００４１０２　４９．９８４５６８　４９．９８３８９５　５０．０１５８６０　４９．９９８７６３　４９．９８２　７７８　５０．０００　１９６　－２０．２１９３７０－１４．６９０２３０　－１４．７０４１２１—２０．２－３８４８３　—７．７２０３９１—２．３．７６０９１５　一Ｏ．０００００１－２５．０１０５２５　７　７２２３９６－２￣３．７６７０９３　１４．６８２６２２—２０．２０８８９７　２Ｏ．２１１ｌ５８－１４．６８４２６６　１０　２３．７９９６４４　—７　７３２９７３　４９．９８２６６２　２０　－２３．７９４２９２　７．７３１　２３２　５０．０ｌ１　６０１　表２计算出来的圆心数据（咖）　Ｔａｂ　２　Ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｄａｔ嗣Ｉｓ　ｏｆ　ｃｉｒ￣ｌｅｓ’ｃｅｌｌｌｆ￣Ｆｓ　序号　１　２　３　４　５　Ｙ　：　序号　１１　１２　１３　１４　１５　ｙ　ｚ　（－０．０００００１，一０．００５６８５５，４５．００００）　（－－０．０００１７９５，一Ｏ．００００５７，４Ｏ．００００）　（－０．０００１７９５，一０．００００５７，４０．００００）　（－０．０００００１，一Ｏ．０００１８８５，３５．０００）　（－０．００３８６２５，一Ｏ．００５３１４５，３０．００００）　（０．００５５１１５，－０．００１　７９２，０．００００）　（－－０．００００６５，０．０００１８５，一５．００００）　（－－０．００５４７１，一０．００１　７７６，－－１０．００００）　（－０．０００３７４，０．００１１４８５，－１５．００００）　（Ｑ．００８３８８５，一０．００２７２７，－－２０．００００）　６　７　（０．００２６０９，一０．００８０３３５，２５．００００）　（０．０００４６０５，０．００１４２０５，２０．００００）　１６　１７　（０．００７２４２５，一０．００９９７０５，－２５．００００）　（０．０００２７９，－０．０００２０４，＿３Ｏ．００００）　８　９　１０　（－０．００５９２７５，一Ｏ．００４３０５，１５．００００）　（０．００２９３６５，０．０００９５５５，ｉ０．００００）　（－０．０００６９１５，０．０００９４９５，５．００００）　ｌ８　１９　２０　（０．００３０２４，一０．０００９８４，－３５．００００）　（０．００１６６７，０．００５１３４，－４０．００００）　（－－０．０００３６９５，０．０００２６６５，一４５．００００）　４结论　最小区域数学模型与优化目标函数。采用遗传算法能够有　效地解决误差评定中多变量、非线性的优化问题。因此，采　（下转第５４页）　运用新一代ＧＰＳ的操作与操作算子技术，实现了垂直　度误差的数字化评定，在此基础上提出垂直度误差评定的