2013届高三调研测试数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A1,a，Ba，若BA，则实数a的值为 ▲ ． 2． 已知复数z1i（i为虚数单位），计算：

zz ▲ ． zzx2y23． 已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该

ab双曲线的离心率的值为 ▲ ．

4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．

5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次

拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ． 6． 函数f(x)cosS←0n←0While S≤1023 S←S2n n←n1End WhilePrint n(第4题)pxp(x1)的最小正周期为 ▲ ． cos227． 函数f(x)log2(4x2)的值域为 ▲ ．

8． 已知点A(1,1)和点B(1,3)在曲线C：yax3bx2d(a,b,d为常数)上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3b2d ▲ ．

9． 已知向量a，b满足a2b2,4，3ab8,16，则向量a，b的夹角的大小

为 ▲ ． 10．给出下列命题：

（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不

垂直.

其中，所有真命题的序号为 ▲ ．

2x≥2,,11．已知函数f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则

(x1)3,0x2实数k的取值范围是 ▲ ．

n4112*12．已知数列an满足a1，2an1nN，则= ▲ ． 3an6i1ai13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y24分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N

两点，点P为圆C上任意一点，则PMPN的最大值为 ▲ ． 14．已知实数x,y同时满足4x27y值范围是 ▲ ． 二、解答题：

15． 已知,均为锐角，且sin51，log27ylog4x≥，27y4x≤1，则xy的取6631，tan()． 53 （1）求sin()的值； （2）求cos的值．

16． 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB， AB2AD2，

CD3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．

（1）求证：MN∥平面PCD；

（2）求证：四边形MNCD是直角梯形； （3）求证：DN平面PCB ．

17． 第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BCa，CDb．a，b为常数且满足ba.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为l（l2b），如图．设AEx，△AEF的面积为S．

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地 块AEF的面积S最大，并求出S的最大值． E

B a C b A F D x2y218． 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1,F2分别是椭圆E:221(ab0)的

ab左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF25BF20. （1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点D1,0为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数，使得k1k20恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19． 已知数列{an}是等差数列，a1a2a315，数列{bn}是等比数列，b1b2b327．

（1）若a1b2,a4b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若a1b1,a2b2,a3b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．

20． 已知函数f(x)xxalnx.

（1）若a=1，求函数f(x)在区间[1,e]的最大值; （2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若f(x)0恒成立，求a的取值范围．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C,F是⊙O上的两点，OC⊥AB， 过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交

AB于点E. 求证：DE2DBDA. C A O E B D F

B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A331A，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征1cd13．求矩阵A的逆矩阵． 2值1的一个特征向量为2C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的极坐标方程为

cos1，曲线C2的极坐标方程为

322cos，判断两曲线的位置关系．

4D．选修4—5：不等式选讲

设f(x)x2x14,且|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)． 22． (本小题满分10分)

袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为

5．现甲、12乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)． 23．(本小题满分10分)

空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成an个部分. （1）求a1,a2,a3,a4 ；

（2）写出an关于n的表达式并用数学归纳法证明.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．0 2．i 3.

5 4. 11 5．

8 6．2 15 7．(,2] 8．7 9．p 10．1、3、4

23nn215 11．0, 12． 13． 442 14．

426二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

πππ15．解：（1）∵,(0,)，从而．

2221π又∵tan()0，∴0． …………………………4分

32∴sin()10． ………………………………6分 10310． 10（2）由（1）可得，cos()∵为锐角，sin34，∴cos． ……………………………………10分 55∴coscos[()]coscos()sinsin() …………12分 4310310910()． …………………………14分

5105105016．证明：

（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…………………2分

因为CD∥AB，所以MN∥CD．

又CD 平面PCD， MN 平面PCD，所以MN∥平面PCD. ……4分 （2）因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，

又因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 所以CD⊥PD，又ADPDD，所以CD⊥平面PAD．……………6分

因为MD平面PAD，所以CD⊥MD，

所以四边形MNCD是直角梯形．……………………………………8分 （3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而

∠PAD= 60． …………………………9分 在Rt△PDA中，AD2，PD6，PA22，MD2． 在直角梯形

MNCD

中，MN1，ND3，CD3，

CNMD2(CDMN)26，

从而DNCNCD，所以DN⊥CN． …………………………11分

在Rt△PDB中，PD= DB=6， N是PB的中点，则DN⊥PB．……13分 又因为PB

17．解：（1）设AFy，则xyl22lxxyl，整理，得y．………3分

2(lx)22222CNN，所以DN平面PCB ． …………………14分

1x(l22lx) Sxy，x(0,b． …………………………………4分

24(lx)l2x24lxl22l2222（2）Sxlxl,x(0,b 224224xlxl'当bbl2bl22l时，S'0，S在(0,b递增，故当xb时，Smax； 24bl当b222222l时，在x0,S'0，S递增，在x上，l2l,b上，22223222l时，Smaxl. 24S'0，S递减，故当x18．解：（1）

AF25BF20，AF25F2B.ac5ac，化简得2a3c，

2. 3故椭圆E的离心率为

4（2）存在满足条件的常数，l.点D1,0为线段OF2的中点，c2，从

7x2y2而a3，b5，左焦点F12,0，椭圆E的方程为1.设Mx1,y1，Nx2,y2，

95x11x2y2y1，代入椭圆方程Px3,y3，Qx4,y4，则直线MD的方程为x1，整y195理得，

5x12x11yy40.2y1y1y1y3y1x11x15，y34y15x9.从而x31，故点x15x155x94y15x294y2y1y2NF.同理，点.三点、、共线，，P1,Q,M1x2x2x5x5x5x5122211从而

x12y2x2.

y1从y1而y24y14y2xyx2y15y1y27y1y27k1yy4x5x254kk23112.故k120，从

x3x45x195x294x1x24x1x247x15x25

4而存在满足条件的常数，l.

7

19．解：（1）由题得a25,b23，所以a1b23，从而等差数列{an}的公差d2，

所以an2n1，从而b3a49，所以bn3n1． ……………………3分 （2）设等差数列{an}的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a15d，b1a35d，b33q.

3，q因为a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，所以(a1b1)(a3b3)(a2b2)264． 设a1b1m，m,nN*，mn64，

a3b3n35dmq则，整理得，d2(mn)d5(mn)800.

5d3qnnm(mn10)236解得d（舍去负根）.

2a35d，要使得a3最大，即需要d最大，即nm及(mn10)取最大

2值.m,nN*，mn64，

2当且仅当n64且m1时，nm及(mn10)取最大值.

从而最大的d63761， 2所以，最大的a373761 ………16分 220．解：（1）若a=1, 则f(x)xx1lnx．

12x2x10， 当x[1,e]时, f(x)xxlnx,f(x)2x1xx2' 所以f(x)在[1,e]上单调增, f(x)maxf(e)e2e1. ……………2分 （2）由于f(x)xxalnx，x(0,)．

12x2ax1 （ⅰ）当a0时，则f(x)xaxlnx，f(x)2xa，

xx2'

aa28 令f(x)0，得x0， 0（负根舍去）

4' 且当x(0,x0)时，f'(x)0；当x(x0,)时，f'(x)0，

aa28aa28 所以f(x)在(0,)上单调减，在(,)上单调增.……4分

44（ⅱ）当a0时，

12x2ax1①当xa时， f(x)2xa,

xx'aa28aa28 令f(x)0，得x1（x， a舍）

44'aa28若a，即a1, 则f'(x)0，所以f(x)在(a,)上单调增；

4aa28若)时，a，即0a1, 则当x(0,x1)时，f'(x)0；当x(x1,4aa28aa28)上是单调减，在(,)上单调f(x)0，所以f(x)在区间(0,44'增. ………………………………………………………6分

12x2ax1②当0xa时, f(x)2xa,

xx''令f(x)0，得2xax10，记a8，

22若a80，即0a22, 则f'(x)0，故f(x)在(0,a)上单调减； 若a80，即a22,

22aa28aa28则由f(x)0得x3，x4且0x3x4a，

44'当x(0,x3)时，f(x)0；当x(x3,x4)时，f(x)0；当x(x4,) 时，

''aa28aa28aa28所以f(x)在区间(0,在()上是单调减，,)上f(x)0，

444'

aa28单调增；在(,)上单调减. …………………………………………8分

4aa28综上所述，当a1时,f(x)单调递减区间是(0,) ，f(x)单调递增区间

4aa28是(,)；

4当1a22时, f(x)单调递减区间是(0,a)，f(x)单调的递增区间是

(a,)；

aa28aa28当a22时, f(x)单调递减区间是(0, )和(,a)，

44aa28aa28f(x)单调的递增区间是(,)和(a,). ………………10分

44（3）函数f(x)的定义域为x(0,)． 由f(x)0，得xalnx． * xlnx0，不等式*恒成立，所以aR； x（ⅰ）当x(0,1)时，xa≥0，（ⅱ）当x1时，1a≥0，

lnx0，所以a1； ………………12分 xlnxlnx恒成立或ax恒成立． xx（ⅲ）当x1时，不等式*恒成立等价于axlnxx21lnx令h(x)x，则h(x)． 2xx因为x1，所以h(x)0，从而h(x)1． 因为axlnx恒成立等价于a(h(x))min，所以a≤1． xlnxx21lnx令g(x)x，则g(x)．

xx21再令e(x)x21lnx，则e(x)2x0在x(1,)上恒成立，e(x)在x(1,)上

x无最大值．

综上所述，满足条件的a的取值范围是(,1)． …………………………16分

2013届高三教学调研测试（二）

数学Ⅱ（附加题） 参考答案

21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分． ．．．．．． A．选修4—1：几何证明选讲

证明：连结OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°．

A O E B D C 因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC． 因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE． 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA． 所以DE2=DB·DA．

B．选修4—2：矩阵与变换

解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，可得c1F 133d111＝61， 即cd6； 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2即3c2d2，

33333可得，＝， 2cd2212-333c2,2. A解得即A＝，逆矩阵是1124d4,-32C．选修4—4：坐标系与参数方程

解：将曲线C1,C2化为直角坐标方程得：

C1:x3y20， C2:x2y22x2y0

即C2:x1y12，

22圆心到直线的距离d1321232332， 2

∴曲线C1与C2相离．

D．选修4—5：不等式选讲

证明：由|f(x)f(a)||x2a2ax||(xa)(xa1)|

=|xa||xa1||xa1||(xa)2a1||xa||2a|1|2a|2 =2(|a|1)．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．解：（1）设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为Cn，

C922

n(n1)25C5，化简得n2n300． 由题意知n=，即2C921298122解得n6或n5（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.

P(X1)P(X3)62； 361； P(X2)939843261；32161.

P(X4)98714987684所以取球次数X的概率分布列为：

X P 1 2 334142 1 48473 1 144 1 84 所求数学期望为E（X）=12+21+31+41=10. 23．解：（1）a12,a24,a38,a415；

（2）an13(n5n6).证明如下： 613(k5k6)， 6 当n1时显然成立，

 设nk(k1,kN)时结论成立，即ak则当nk1时，再添上第k1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k1个平面划最多分成[(k1)(k1)2)]个部分，每个部分把它所在的原有空间

122

区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了[(k1)(k1)2)]个，

1221112ak1ak[(k1)2(k1)2)](k35k6)[(k1)(k1)2)]2621k13)k5(1)，6 )] [(6即当nk1时，结论也成立.

综上，对nN，an13(n5n6). 6